定位：投影片建立框架、PDF 講義學完整內容；這頁是「看完 PDF 一個重點後」的題目完整解法示範 + 上手練習。重點：最小平方 b₀/b₁、評估（S_e、R²）、對斜率 β₁ 的 t 檢定（＝檢定有無線性關係）。
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第 1 節 配適迴歸線與評估 Least Squares
先回想（細節在 PDF §2–§3）
最小平方：b₁=S_xy/S_xx、b₀=ȳ−b₁x̄；評估用 估計標準誤 S_e 與 判定係數 R²。例題 14.1：年資 x 與績效獎金 y（n=6）
題目
六位員工的年資與年度績效獎金（千美元）：x = 1,2,3,4,5,6；y = 6,1,9,5,17,12。配適迴歸線，求 R²，並在 α=0.05 下檢定獎金與年資是否有線性關係。
完整解法（八步驟）
Σx=21, Σy=50, Σxy=212, Σx²=91, Σy²=576, n=6。
- 係數：S_xy=212−21·50/6=37、S_xx=91−21²/6=17.5、S_yy=576−50²/6=159.33
- b₁=37/17.5=2.114、b₀=50/6−2.114·21/6=0.934 → ŷ=0.934+2.114x
- SSE=159.33−37²/17.5=81.10、S_e=√(81.10/4)=4.50
- R²=37²/(17.5·159.33)=0.49（年資解釋約 49% 獎金變異）
- 檢定線性關係 ⇔ H₀:β₁=0 vs H₁:β₁≠0；T=(b₁−0)/(S_e/√S_xx)，df=n−2=4
- R={|T|≥t₀.₀₂₅,₄=2.776}
- T=2.114/(4.50/√17.5)=1.96 < 2.776 → Do not reject H₀
- 結論：此樣本無足夠證據說年資與獎金有線性關係（樣本小、變異大）。
Q1最小平方法在最小化什麼？
Σ(y−ŷ)²。因 Σ(y−ŷ)=0，故最小化平方和。
Q2斜率估計 b₁ =？
b₁=S_xy/S_xx。b₀=ȳ−b₁x̄。
Q3判定係數 R² 與相關係數 r 的關係是？
R²=r²。簡單迴歸中判定係數＝相關係數平方。
Q4估計標準誤 S_e 的自由度（分母）是？
n−2。S_e=√(SSE/(n−2))，估了 b₀、b₁ 兩個參數。
第 2 節 斜率 t 檢定與判定係數 Slope test & R²
先回想（細節在 PDF §4）
檢定「有無線性關係」＝檢定 H₀:β₁=0；T=(b₁−β₁₀)/(S_e/√S_xx) ~ t_{n−2}。R²=SSR/SST 衡量解釋力。例題 14.4：二手車里程 x 與售價 y（n=100，摘要統計）
題目
100 輛三年車齡 Camry：S_xy=−287.995、S_xx=4307.378、S_yy=29.702，配適得 ŷ=17.25−0.0669x。在 α=0.05 下檢定售價與里程是否有線性關係，並求 R²。
完整解法（八步驟）
先由 SSE 求 S_e，再做斜率 t 檢定；df=n−2=98。
- SSE=S_yy−S_xy²/S_xx=29.702−(−287.995)²/4307.378=10.446
- S_e=√(SSE/(n−2))=√(10.446/98)=0.3265
- H₀:β₁=0；H₁:β₁≠0；T=(b₁−0)/(S_e/√S_xx)，df=98
- α=0.05；R={|T|≥t₀.₀₂₅,₉₈≈1.984}
- T=−0.0669/(0.3265/√4307.378)=−13.45
- |−13.45|≥1.984 → Reject H₀
- R²=S_xy²/(S_xx·S_yy)=0.648（里程解釋約 64.8% 售價變異）
- 結論：售價與里程有顯著線性（負）關係，r=−0.805。
Q1「檢定 x 與 y 是否有線性關係」等同檢定哪個參數？
β₁=0。斜率為 0 → 線水平 → 無線性關係。
Q2斜率 t 檢定的自由度是？
n−2。T=(b₁−β₁₀)/(S_e/√S_xx) ~ t_{n−2}。
Q3總平方和 SST 的分解是？
SST=SSR+SSE，df：n−1=1+(n−2)。
Q4R² = 0.648 的意思是？
x 解釋約 64.8% 的 y 變異（SSR/SST）；R²＝r²，但不代表因果。