Inference about Comparing Two Populations
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一句話：手上兩組資料，想知道兩母體在某參數上是否有差異。依參數分四條路：
| 路 | 參數 | 樣本設計 | 工具 |
|---|---|---|---|
| ① 平均數差（獨立） | μ₁−μ₂ | 不相關兩組 | Z / 聯合 t / 非聯合 t |
| ② 平均數差（成對） | μ_D | 配對 / 前後測 | t，ν = n−1 |
| ③ 變異數比值 | σ₁²/σ₂² | 兩常態母體 | F |
| ④ 比例差 | p₁−p₂ | 兩大樣本 | Z |
每條路都走「估計（信賴區間）」與「檢定（八步驟）」兩條主線。
比較什麼參數？
├─ 平均數差 ─→ 獨立還是成對？
│ ├─ 成對 ───────────────→ t，ν = n−1
│ └─ 獨立 ─→ σ 已知？
│ ├─ 是 ────────────→ Z
│ └─ 否 ─→ ½ ≤ S₁/S₂ ≤ 2 ？
│ ├─ 是 ───────→ 聯合 t，ν = n₁+n₂−2
│ └─ 否 ───────→ 非聯合 t（Satterthwaite）
├─ 變異數比值 ─→ F = S₁²/S₂²，(n₁−1, n₂−1)
└─ 比例差 ─────→ Z（p₀=0 用聯合 p̂；否則各自 P̂ᵢ）這張是全章最該記熟的「流程」。背後公式在後面四張，細節在 PDF。
四條路流程完全一樣，只換「檢定統計量」與「自由度」：
一句話：分成不相關兩組比平均；σ 已知用 Z，未知看 S₁/S₂ 選聯合或非聯合 t。
易錯聯合與非聯合的標準誤不可混用；σ 未知別直接用 Z。
一句話：配對或前後測，把每對差異 d 當成單一母體，檢定 μ_D 是否為 0。
易錯自由度是 n−1（n 為對數），不是 n₁+n₂−2。
一句話：研究的是比值 σ₁²/σ₂²（不是差）；σ₁²=σ₂² ⟺ 比值 = 1。
易錯查左尾忘記把兩個自由度對調；F 分配右偏、均值近 1。
一句話：兩大樣本比比例；標準誤怎麼算看 p₀ 是否為 0。
易錯只有 p₀=0 才合併 p̂；p₀≠0 或求信賴區間一律用各自 P̂ᵢ。大樣本條件：四個 nᵢpᵢ、nᵢ(1−pᵢ) ≥ 5。
| 路 | 最常考的陷阱 |
|---|---|
| ① 獨立 | σ 未知看 S₁/S₂ 選聯合 / 非聯合；標準誤不可混用 |
| ② 成對 | 自由度 n−1、標準誤 S_D/√n，勿當獨立 |
| ③ F | 研究比值非差；左尾倒數、自由度對調 |
| ④ 比例差 | 僅 p₀=0 用聯合 p̂；信賴區間不合併 |
| 通用 | 信賴區間含 0（或 1）⟺ 雙尾不拒絕 |
Per aspera ad astra
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