微積分 CH7 Multivariable Calculus 多變數微積分 ·測驗

難度由「基礎 → 進階 → 挑戰」遞增；挑戰題權重較高。作答後按下方「交卷計分」。

精熟閘門：總分 ≥ 80%。未達建議回對應章頁複習「易錯點／歸納」再重做。

基礎權重 ×1

$f(x,y)=x^2y$, find $f_x$ 求?

$x^2$$2xy$$2x$$x^2+y$

解答：$2xy$。對 $x$ 偏微分把 $y$ 當常數：$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y)=2xy$。

$f(x,y)=x^2y$, find $f_y$ 求?

$2xy$$x^2$$x^2y$$2x$

解答：$x^2$。對 $y$ 偏微分把 $x$（含 $x^2$）當常數：$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y)=x^2$。

二階導數判別法的 $D$ 是?

$f_{xx}+f_{yy}$$f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$$(f_{xy})^2$$f_{xx}f_{yy}$

解答：$f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$。$D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$（乘積減混合偏導平方），不是相加。

臨界點的條件?

$f_{xx}=0$$f_x=0$ 且 $f_y=0$$D=0$$f=0$

解答：$f_x=0$ 且 $f_y=0$。臨界點＝一階偏導同時為 0（或不存在）；極值只可能在此。

進階權重 ×2

$D>0$ 且 $f_{xx}<0$ 代表?

local min 極小local max 極大saddle 鞍點無法判定

解答：local max 極大。$D>0$ 是極值，$f_{xx}<0$ → 局部極大（像開口向下）。

$D<0$ 代表?

local min 極小local max 極大saddle point 鞍點無法判定

解答：saddle point 鞍點。$D<0$ → 鞍點（一方向上升、另一方向下降），不是極值。

需求 $q_1=80-3p_1+2p_2$，$q_1$ 與 $q_2$ 是?

complements 互補品substitutes 替代品無關無法判定

解答：substitutes 替代品。交叉偏導 $\partial q_1/\partial p_2=2>0$（另一品漲價→本品需求增）→ 替代品。

挑戰權重 ×3

分類 $f=x^2-4xy+y^2$ 的臨界點 $(0,0)$?

local min 極小local max 極大saddle point 鞍點無法判定

解答：saddle point 鞍點。$f_{xx}=2,f_{yy}=2,f_{xy}=-4$，$D=2\cdot2-(-4)^2=4-16=-12<0$ → 鞍點。

在 $g(x,y)=k$ 限制下求 $f$ 極值，要解?

$f_x=f_y=0$$\nabla f=\lambda\nabla g$ 且 $g=k$$D=0$$f=g$

解答：$\nabla f=\lambda\nabla g$ 且 $g=k$。拉格朗日：$f_x=\lambda g_x$、$f_y=\lambda g_y$、$g=k$ 三式三未知；別漏限制式。

用拉格朗日求 $f=xy$ 在 $x+y=10$ 的最大值?

$20$$25$$50$$100$

解答：$25$。$f_x=y=\lambda$、$f_y=x=\lambda$ → $x=y$；代 $x+y=10$ 得 $x=y=5$、$f=25$。（算幾不等式也得最大在 $x=y$。）