微積分 CH7 Multivariable Calculus 多變數微積分 ·計算／實作題

計算／實作題：先自己算，提示分步驟，解答逐步列出。重在過程，對答案也要對步驟。

進度：0 / 6 題完成（勾選右上「完成」會記住，重開仍在）

基礎Partial derivatives 偏導數☐完成

$f(x,y)=x^3y^2+2xy+y$. Find 求 $f_x$ and 與 $f_y$.

提示

求 $f_x$ 時把 $y$ 當常數；求 $f_y$ 時把 $x$ 當常數。

解答（逐步）

執行 Execute：
$f_x$（$y$ 當常數）$=3x^2y^2+2y+0=3x^2y^2+2y$。
$f_y$（$x$ 當常數）$=2x^3y+2x+1$。
驗算 Verify：$x$ 的純項 $2xy$ 對 $y$ 偏微分得 $2x$ ✓；單獨的 $y$ 對 $x$ 偏微分得 0、對 $y$ 得 1 ✓。
答案 Answer：$\boxed{f_x=3x^2y^2+2y,\quad f_y=2x^3y+2x+1}$。

基礎Clairaut check 混合偏導☐完成

$f(x,y)=x^2y^3$. Verify 驗證 $f_{xy}=f_{yx}$.

提示

先 $f_x$ 再對 $y$；先 $f_y$ 再對 $x$，比較。

解答（逐步）

執行 Execute：$f_x=2xy^3\Rightarrow f_{xy}=(2xy^3)_y=6xy^2$。$f_y=3x^2y^2\Rightarrow f_{yx}=(3x^2y^2)_x=6xy^2$。
驗算 Verify：兩者皆 $6xy^2$，相等 ✓——符合 Clairaut 定理（連續時混合偏導與順序無關）。
答案 Answer：$\boxed{f_{xy}=f_{yx}=6xy^2}$。

進階Critical point + D-Test 臨界點與判別☐完成

Find and classify the critical point(s) of 求並分類 $f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+5$.

提示

$f_x=f_y=0$ 找臨界點；算 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$。

解答（逐步）

理解 Understand：一階偏導 $f_x=2x-4$、$f_y=2y+6$。
計畫 Plan：令 0 → $x=2,y=-3$，臨界點 $(2,-3)$。
執行 Execute：$f_{xx}=2,f_{yy}=2,f_{xy}=0$，$D=2\cdot2-0=4>0$，$f_{xx}=2>0$ → **local minimum 局部極小**。值 $f(2,-3)=4+9-8-18+5=-8$。
驗算 Verify：配方 $f=(x-2)^2+(y+3)^2-8\ge-8$，最小值 $-8$ 於 $(2,-3)$ ✓，與 D-Test 一致。
答案 Answer：$\boxed{(2,-3)\text{ 局部極小，}f_{\min}=-8}$。

進階Saddle point 鞍點☐完成

Classify the critical point of 分類 $f(x,y)=x^3-3xy+y^3$ 的臨界點。

提示

$f_x=3x^2-3y=0$、$f_y=-3x+3y^2=0$ 聯立解；對每個臨界點做 D-Test。

解答（逐步）

理解 Understand：$f_x=3x^2-3y=0\Rightarrow y=x^2$；$f_y=-3x+3y^2=0\Rightarrow x=y^2$。
計畫 Plan：代入 $x=(x^2)^2=x^4\Rightarrow x^4-x=0\Rightarrow x(x^3-1)=0\Rightarrow x=0$ 或 $x=1$。臨界點 $(0,0)$、$(1,1)$。
執行 Execute：$f_{xx}=6x,f_{yy}=6y,f_{xy}=-3$，$D=36xy-9$。
  $(0,0)$：$D=-9<0$ → **鞍點 saddle**。
  $(1,1)$：$D=36-9=27>0$，$f_{xx}=6>0$ → **局部極小 local min**。
驗算 Verify：兩臨界點代回原式確認 $f$ 有限 ✓；$D$ 符號分類一致 ✓。
答案 Answer：$\boxed{(0,0)\text{ 鞍點；}(1,1)\text{ 局部極小}}$。

挑戰Lagrange multipliers 拉格朗日☐完成

Use Lagrange multipliers 用拉格朗日求 $f(x,y)=x^2+y^2$ subject to 限制 $x+2y=5$ 的最小值。

提示

解 $f_x=\lambda g_x$、$f_y=\lambda g_y$、$g=k$，其中 $g=x+2y$。

解答（逐步）

計畫 Plan：$\nabla f=\lambda\nabla g$：$2x=\lambda\cdot1$、$2y=\lambda\cdot2$。
執行 Execute：由兩式 $\lambda=2x$、$\lambda=y$ → $y=2x$。代限制 $x+2y=5$：$x+4x=5\Rightarrow x=1,y=2,\lambda=2$。$f=1^2+2^2=5$。
驗算 Verify：$f=x^2+y^2$ 是原點到點的距離平方，最小即原點到直線 $x+2y=5$ 距離平方 $=\left(\frac{|{-5}|}{\sqrt{1^2+2^2}}\right)^2=\frac{25}{5}=5$ ✓。
答案 Answer：$\boxed{f_{\min}=5\text{ 於 }(1,2)}$。

挑戰Constrained production 預算限制最大產量☐完成

Cobb–Douglas 產量 $P(L,K)=L^{1/2}K^{1/2}$，預算限制 $2L+K=20$（勞動每單位 $2、資本每單位 1）。用拉格朗日求最大產量的 $L,K$。

提示

$P_L=\lambda g_L$、$P_K=\lambda g_K$，$g=2L+K=20$。

解答（逐步）

計畫 Plan：$P_L=\tfrac12 L^{-1/2}K^{1/2}=2\lambda$；$P_K=\tfrac12 L^{1/2}K^{-1/2}=\lambda$。
執行 Execute：兩式相除 $\frac{P_L}{P_K}=\frac{K}{L}=\frac{2\lambda}{\lambda}=2\Rightarrow K=2L$。代限制 $2L+K=20$：$2L+2L=20\Rightarrow L=5,K=10$。
產量 $P=\sqrt{5}\sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt2\approx7.07$。
驗算 Verify：花費 $2(5)+10=20$ 恰用完預算 ✓；最佳配置條件「邊際產量比＝價格比」$\frac{P_L}{P_K}=\frac{2}{1}$ 成立 ✓。
答案 Answer：$\boxed{L=5,\ K=10,\ P_{\max}=5\sqrt2\approx7.07}$。