Applications of Integration 積分的應用測驗

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基礎權重 ×1

Area between $f\ge g$ on $[a,b]$ is 兩曲線面積?

$\int_a^b(g-f)dx$$\int_a^b(f-g)dx$$\int_a^b fg\,dx$$\int_a^b|f|-|g|\,dx$

解答：$\int_a^b(f-g)dx$。上曲線減下曲線：top − bottom。交叉時要分段，但同段一律上減下。

Consumer surplus 消費者剩餘 CS =?

$\int_0^Q[P-S(q)]dq$$\int_0^Q[D(q)-P]dq$$\int_0^Q D(q)dq$$\int_0^Q[S(q)-P]dq$

解答：$\int_0^Q[D(q)-P]dq$。CS＝需求曲線在市價之上的面積＝「需求 − 市價」。選項 A 是生產者剩餘 PS。

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx$ converges iff 收斂條件?

$p<1$$p=1$$p>1$always 恆收斂

解答：$p>1$。$p$-判準：$p>1$ 收斂、$p\le1$ 發散（$p=1$ 即 $\int_1^\infty\frac1x=\infty$）。

First step for $\int_a^{\infty}f$ 第一步?

代入 $\infty$ Substitute ∞寫成 $\lim_{t\to\infty}\int_a^t$微分 Differentiate換元 u-sub

解答：寫成 $\lim_{t\to\infty}\int_a^t$。瑕積分一定先寫成定積分再取極限：$\lim_{t\to\infty}\int_a^t f$。

進階權重 ×2

$y=x$ 與 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 圍的面積?

$\tfrac13$$\tfrac16$$\tfrac12$$1$

解答：$\tfrac16$。$[0,1]$ 上 $x\ge x^2$：$\int_0^1(x-x^2)dx=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16$。

$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx$ 的結果?

$1$$0$diverges 發散$\ln 2$

解答：diverges 發散。$\lim_{t\to\infty}[\ln x]_1^t=\lim\ln t=\infty$ → 發散（$p=1$ 的臨界情形）。

Present value of a perpetuity 永續年金（常數流 $K$、利率 $r$）現值?

$Kr$$K/r$$\infty$$Ke^{-r}$

解答：$K/r$。$\int_0^{\infty}Ke^{-rt}dt=K[-\tfrac1r e^{-rt}]_0^\infty=K/r$（折現使其收斂）。

挑戰權重 ×3

$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 是?

$2$ (convergent 收斂)diverges 發散$1$$0$

解答：$2$ (convergent 收斂)。第二型（$x=0$ 處無界）：$\lim_{t\to0^+}[2\sqrt x]_t^1=2-0=2$。$\int_0^1 x^{-p}$ 在 $p<1$ 收斂，此處 $p=\tfrac12$。

用比較定理判 $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx$?

diverges 發散converges 收斂無法判定等於 $\pi$

解答：converges 收斂。$0<\frac1{x^2+1}<\frac1{x^2}$ 且 $\int_1^\infty\frac1{x^2}$ 收斂（$p=2$）→ 大的收斂、小的也收斂。

$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ 正確判定?

$=2$$=-2$diverges 發散（內部 $x=0$ 無界）$=0$

解答：diverges 發散（內部 $x=0$ 無界）。壞點在內部 $x=0$，須拆 $\int_{-1}^0+\int_0^1$；$\int_0^1 x^{-2}=\lim_{t\to0^+}[-x^{-1}]_t^1\to\infty$ → 發散。直接代會誤得 $-2$（典型陷阱）。