微積分 CH6 Applications of Integration 積分的應用 ·計算／實作題
計算／實作題：先自己算，提示分步驟，解答逐步列出。重在過程，對答案也要對步驟。
進度：0 / 6 題完成（勾選右上「完成」會記住，重開仍在）
基礎Area between curves 曲線間面積☐完成
Find the area between 求 $y=4-x^2$ and 與 $y=0$.
提示
先求交點定上下界；$y=4-x^2$ 在上、$y=0$ 在下。
解答（逐步）
理解 Understand：交點 $4-x^2=0\Rightarrow x=\pm2$；區間 $[-2,2]$ 上 $4-x^2\ge0$。
執行 Execute：$A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=2\int_0^2(4-x^2)\,dx=2[4x-\tfrac{x^3}{3}]_0^2=2(8-\tfrac83)=2\cdot\tfrac{16}{3}=\tfrac{32}{3}$。
驗算 Verify：偶函數用對稱簡化 ✓；被積式在 $[-2,2]$ 為正、面積正 ✓。
答案 Answer：$\boxed{\tfrac{32}{3}}$。基礎Consumer surplus 消費者剩餘☐完成
需求 $D(q)=100-2q$、銷量 $Q=20$，求消費者剩餘 CS。
提示
先求市價 $P=D(Q)$，再 $\int_0^Q[D(q)-P]dq$。
解答（逐步）
計畫 Plan：市價 $P=D(20)=100-40=60$。
執行 Execute：$\text{CS}=\int_0^{20}[(100-2q)-60]\,dq=\int_0^{20}(40-2q)\,dq=[40q-q^2]_0^{20}=800-400=400$。
驗算 Verify：需求曲線在市價上方為三角形，底 20、高 $D(0)-P=40$，面積 $\tfrac12\cdot20\cdot40=400$ ✓。
答案 Answer：$\boxed{\text{CS}=400}$。進階Convergent improper integral 收斂瑕積分☐完成
Evaluate 求 $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^3}\,dx$.
提示
第一型：寫 $\lim_{t\to\infty}\int_1^t x^{-3}dx$。
解答（逐步）
執行 Execute：$\int_1^{\infty}x^{-3}dx=\lim_{t\to\infty}\int_1^t x^{-3}dx=\lim_{t\to\infty}[-\tfrac12 x^{-2}]_1^t=\lim_{t\to\infty}(-\tfrac{1}{2t^2}+\tfrac12)=\tfrac12$。
驗算 Verify：$p=3>1$ → $p$-判準預測收斂 ✓；反導數 $-\tfrac12 x^{-2}$ 微分回 $x^{-3}$ ✓。
答案 Answer：$\boxed{\tfrac12\ (\text{收斂})}$。進階Future value of an income stream 所得流未來值☐完成
一筆連續所得流以常數速率 $f(t)=1000$（元/年）流入、利率 $r=0.05$ 連續複利，求 2 年後的未來值 FV。
提示
$\text{FV}=\int_0^{T}f(t)e^{r(T-t)}dt$，$T=2$。常數流可提出。
解答（逐步）
計畫 Plan：$\text{FV}=\int_0^{2}1000\,e^{0.05(2-t)}\,dt=1000e^{0.1}\int_0^2 e^{-0.05t}\,dt$。
執行 Execute：$\int_0^2 e^{-0.05t}dt=[-\tfrac{1}{0.05}e^{-0.05t}]_0^2=-20(e^{-0.1}-1)=20(1-e^{-0.1})$。
所以 $\text{FV}=1000e^{0.1}\cdot20(1-e^{-0.1})=20000(e^{0.1}-1)$。
數值 Numeric：$e^{0.1}\approx1.10517$ → $\text{FV}\approx20000(0.10517)=2103.4$ 元。
驗算 Verify：無利率時純流入 $1000\times2=2000$，有利息應略多於 2000 ✓。
答案 Answer：$\boxed{\text{FV}=20000(e^{0.1}-1)\approx2103\text{ 元}}$。挑戰Divergent / comparison 發散與比較☐完成
(a) 判斷 $\int_1^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 斂散並求值（若收斂）。(b) 用比較定理判 $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+x}\,dx$。
提示
(a) $p=\tfrac12$ 用 $p$-判準。(b) 找一個已知斂散、且能上界/下界控制的 $1/x^p$。
解答（逐步）
(a) $\int_1^{\infty}x^{-1/2}dx=\lim_{t\to\infty}[2\sqrt x]_1^t=\lim_{t\to\infty}(2\sqrt t-2)=\infty$ → **發散**（$p=\tfrac12\le1$）。
(b) 對 $x\ge1$：$x^2+x>x^2$，故 $0<\frac{1}{x^2+x}<\frac{1}{x^2}$。已知 $\int_1^\infty\frac1{x^2}$ 收斂（$p=2$）。由比較定理：大的收斂 → 小的也**收斂**。
驗算 Verify：(a) $p$-判準一致 ✓；(b) 部分分式 $\frac{1}{x^2+x}=\frac1x-\frac1{x+1}$，$\int_1^t=[\ln\frac{x}{x+1}]_1^t\to\ln1-\ln\tfrac12=\ln2$，確為有限（收斂）✓。
答案 Answer：(a) $\boxed{\text{發散}}$；(b) $\boxed{\text{收斂}}$。挑戰Area with intersection 交叉分段☐完成
Find the area enclosed by 求 $y=x$ and 與 $y=x^3$ 圍的面積（$-1\le x\le1$）。
提示
兩曲線在 $x=-1,0,1$ 相交，$[-1,0]$ 與 $[0,1]$ 上下關係不同，要分段。
解答（逐步）
理解 Understand：解 $x=x^3\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$。在 $(0,1)$：$x>x^3$（上是 $y=x$）；在 $(-1,0)$：$x^3>x$（上是 $y=x^3$）。
執行 Execute：由對稱（兩段面積相等）$A=2\int_0^1(x-x^3)\,dx=2[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^4}{4}]_0^1=2(\tfrac12-\tfrac14)=2\cdot\tfrac14=\tfrac12$。
驗算 Verify：若誤用整段 $\int_{-1}^1(x-x^3)dx$（奇函數）會得 0，明顯漏掉面積 → 證明必須分段、取絕對面積 ✓。
答案 Answer：$\boxed{A=\tfrac12}$。