Integration 積分測驗

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基礎權重 ×1

What does $\int_a^b f(x)\,dx$ represent geometrically? 定積分的幾何意義是?

The slope of $f$ at $x=b$ / $f$ 在 $x=b$ 的斜率Net signed area between $y=f(x)$ and the $x$-axis 曲線與 $x$ 軸間的淨有號面積Total length of the curve 曲線總長The value $f(b)-f(a)$

解答：Net signed area between $y=f(x)$ and the $x$-axis 曲線與 $x$ 軸間的淨有號面積。定義是黎曼和的極限＝淨有號面積（軸上正、軸下負）。斜率是微分；$f(b)-f(a)$ 與被積函數無直接關係。Definition = limit of Riemann sums = net signed area.

$\int x^n\,dx$ for $n\neq -1$ equals? ($n\neq-1$)

$n x^{n-1}+C$$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$x^{n+1}+C$$\ln|x|+C$

解答：$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$。反冪法則：指數加一、再除以新指數。$\ln|x|$ 是 $n=-1$ 特例；$n x^{n-1}$ 是導數不是反導數。Reverse power rule.

$\int \frac{1}{x}\,dx$ equals 等於?

$\ln x+C$$\ln|x|+C$$-x^{-2}+C$$\frac{x^0}{0}$

解答：$\ln|x|+C$。必須加絕對值（定義域含負數）。$\ln x$ 漏掉 $x<0$；冪法則在 $n=-1$ 失效。Absolute value required.

Net Change Theorem 淨變化原理：$\int_a^b F'(x)\,dx=$?

$F'(b)-F'(a)$$F(b)-F(a)$$0$$F(b)+F(a)$

解答：$F(b)-F(a)$。FTC 的應用版：把變化率積起來＝該量的淨變化。Integral of a rate = net change.

進階權重 ×2

$\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx$ equals 等於?

$e-1$$\tfrac12(e-1)$$e^2-1$$\tfrac12 e$

解答：$\tfrac12(e-1)$。代換 $u=x^2$、$du=2x\,dx$、界 $0\to0$、$1\to1$：$\tfrac12\int_0^1 e^u\,du=\tfrac12(e-1)$。$\tfrac12$ 來自 $x\,dx=\tfrac12\,du$。

For $\int x\,e^x\,dx$ by parts, the correct LIATE choice is? 正確的 LIATE 選法?

$u=e^x,\ dv=x\,dx$$u=x,\ dv=e^x\,dx$$u=xe^x,\ dv=dx$$u=1,\ dv=xe^x\,dx$

解答：$u=x,\ dv=e^x\,dx$。代數先於指數：$u=x$（微分變 1）、$dv=e^x dx$。挑反會讓 $\int v\,du$ 更難。Algebraic before Exponential.

$\int_{-3}^{3} x^5\,dx$ equals 等於?

$0$$2\int_0^3 x^5\,dx$$\tfrac{3^6}{6}$Cannot be determined 無法判定

解答：$0$。$x^5$ 是奇函數＋對稱區間，積分為 0。偶函數才用 $2\int_0^a$。Odd function on symmetric interval.

挑戰權重 ×3

Velocity $v(t)=t-2$ (m/s) on $[0,3]$. Total distance traveled? 速度 $v(t)=t-2$ 於 $[0,3]$，總路程?

$-\tfrac32$ m$\tfrac32$ m$\tfrac52$ m$3$ m

解答：$\tfrac52$ m。路程積 $|v|$、在 $t=2$ 分段：$\int_0^2(2-t)+\int_2^3(t-2)=2+\tfrac12=\tfrac52$。位移（直接積 $v$）是 $-\tfrac32$，為誘答。Distance integrates $|v|$.

Why must $n$ be even for Simpson's Rule? 辛普森法則為何需偶數段?

Otherwise $\Delta x$ undefined / 否則 $\Delta x$ 無定義Each parabola spans a pair of strips 每條拋物線配兩段、段須成對Even $n$ gives zero error 偶數讓誤差為零To match the Trapezoidal Rule 為了與梯形法一致

解答：Each parabola spans a pair of strips 每條拋物線配兩段、段須成對。辛普森用一條拋物線配相鄰兩段，故段數須偶數才配得成對。偶數不會讓誤差歸零；$\Delta x=(b-a)/n$ 任意 $n$ 皆有定義。

$\int \ln x\,dx=$?

$\frac1x+C$$x\ln x - x + C$$\frac{(\ln x)^2}{2}+C$$x\ln x + C$

解答：$x\ln x - x + C$。分部 $u=\ln x$、$dv=dx$：$x\ln x-\int x\cdot\tfrac1x\,dx=x\ln x-x+C$。單獨 $\ln x$ 是招牌分部題（取 $dv=dx$）。