微積分 CH5 Integration 積分 ·計算／實作題

計算／實作題：先自己算，提示分步驟，解答逐步列出。重在過程，對答案也要對步驟。

進度：0 / 6 題完成（勾選右上「完成」會記住，重開仍在）

基礎Definite integral via FTC 用 FTC 算定積分☐完成

Evaluate 求 $\int_1^{3}(2x+1)\,dx$.

提示

逐項求反導數，再套 FTC：$[F(x)]_1^3=F(3)-F(1)$。Find an antiderivative termwise, then apply FTC.

解答（逐步）

理解 Understand：多項式被積式，用線性＋冪法則。
計畫 Plan：$2x+1$ 的反導數是 $x^2+x$。
執行 Execute：$\int_1^3(2x+1)\,dx=[x^2+x]_1^3=(9+3)-(1+1)=12-2=10$。
驗算 Verify：微分 $x^2+x$ → $2x+1$ ✓ 等於被積式。被積式在 $[1,3]$ 為正，正答案合理；平均高 $\approx(3+7)/2=5$、寬 2 → $\approx10$ ✓。
答案 Answer：$\boxed{10}$。

基礎Indefinite integral, remember +C 不定積分別忘 +C☐完成

Find 求 $\int\left(4x^3-\frac{1}{x}\right)dx$.

提示

$4x^3$ 用冪法則；$\frac1x$ 是 $n=-1$ 特例 → $\ln|x|$。

解答（逐步）

理解 Understand：線性拆兩項。
執行 Execute：$\int 4x^3\,dx=x^4$；$\int\frac1x\,dx=\ln|x|$。故 $\int(4x^3-\frac1x)\,dx=x^4-\ln|x|+C$。
驗算 Verify：$\frac{d}{dx}(x^4-\ln|x|+C)=4x^3-\frac1x$ ✓。
答案 Answer：$\boxed{x^4-\ln|x|+C}$（別漏 $+C$；用 $|x|$）。

進階Substitution, change limits 代換並換上下界☐完成

Evaluate 求 $\int_0^{2} \frac{x}{x^2+1}\,dx$.

提示

令 $u=x^2+1$，算 $du$、換界、積 $\frac1u$。Let $u=x^2+1$.

解答（逐步）

理解 Understand：分子 $x$（差常數）是內函數 $x^2+1$ 的導數 → 代換。
計畫 Plan：$u=x^2+1$、$du=2x\,dx\Rightarrow x\,dx=\tfrac12\,du$。界：$x=0\to u=1$、$x=2\to u=5$。
執行 Execute：$\int_0^2\frac{x}{x^2+1}\,dx=\tfrac12\int_1^5\frac{1}{u}\,du=\tfrac12[\ln u]_1^5=\tfrac12(\ln5-\ln1)=\tfrac12\ln5$。
驗算 Verify：$\frac{d}{dx}\left(\tfrac12\ln(x^2+1)\right)=\tfrac12\cdot\frac{2x}{x^2+1}=\frac{x}{x^2+1}$ ✓。數值 $\tfrac12\ln5\approx0.805$，正被積式合理。
答案 Answer：$\boxed{\tfrac12\ln 5\approx0.805}$。（陷阱：換界後不換回 $x$）

進階Integration by parts 分部積分☐完成

Evaluate 求 $\int_0^{1} x\,e^{x}\,dx$.

提示

LIATE：代數先於指數 → $u=x$、$dv=e^x dx$。

解答（逐步）

計畫 Plan：$u=x\Rightarrow du=dx$；$dv=e^x dx\Rightarrow v=e^x$。
執行 Execute：$\int_0^1 xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=[xe^x]_0^1-[e^x]_0^1=(1\cdot e-0)-(e-1)=e-e+1=1$。
驗算 Verify：反導數 $F(x)=xe^x-e^x=(x-1)e^x$；$F'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x$ ✓。
答案 Answer：$\boxed{1}$。

挑戰Displacement vs distance 位移 vs 路程☐完成

Velocity 速度 $v(t)=t^2-4$ (m/s) for $t\in[0,3]$. Find 求 (a) displacement 位移 and (b) total distance 總路程.

提示

位移積 $v$；路程積 $|v|$。先找 $v=0$ 的點分段。Displacement integrates $v$; distance integrates $|v|$.

解答（逐步）

理解 Understand：$v=t^2-4=0$ 在 $t=2$（在範圍內）。$v<0$ 於 $[0,2)$、$v>0$ 於 $(2,3]$。
(a) 位移 Displacement $=\int_0^3(t^2-4)\,dt=[\tfrac{t^3}{3}-4t]_0^3=(9-12)-0=-3$ m。
(b) 路程 Distance $=\int_0^2(4-t^2)\,dt+\int_2^3(t^2-4)\,dt$。
  第一段：$[4t-\tfrac{t^3}{3}]_0^2=8-\tfrac83=\tfrac{16}{3}$。
  第二段：$[\tfrac{t^3}{3}-4t]_2^3=(9-12)-(\tfrac83-8)=-3-(-\tfrac{16}{3})=\tfrac{7}{3}$。
  總和 $=\tfrac{16}{3}+\tfrac{7}{3}=\tfrac{23}{3}\approx7.67$ m。
驗算 Verify：路程 $\ge|$位移$|$（$7.67\ge3$）✓；兩段距離積分皆正 ✓。
答案 Answer：位移 $=\boxed{-3\text{ m}}$、總路程 $=\boxed{\tfrac{23}{3}\approx7.67\text{ m}}$。差別：$[0,2)$ 往回走的部分在路程算正、在位移抵消。

挑戰Numerical integration (Trapezoidal) 數值積分（梯形法）☐完成

Use the Trapezoidal Rule with $n=4$ to approximate 用梯形法 $n=4$ 估 $\int_0^{2} \frac{1}{1+x^2}\,dx$. (Exact 精確值 $=\arctan 2\approx1.1071$.)

提示

$\Delta x=\frac{2-0}{4}=0.5$。$T_n=\frac{\Delta x}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)]$。

解答（逐步）

理解 Understand：不需反導數——在 $x=0,0.5,1,1.5,2$ 套梯形公式。
計畫 Plan：$\Delta x=0.5$，$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$：
  $f(0)=1$、$f(0.5)=\frac{1}{1.25}=0.8$、$f(1)=0.5$、$f(1.5)=\frac{1}{3.25}=0.30769$、$f(2)=0.2$。
執行 Execute：$T_4=\frac{0.5}{2}[\,1+2(0.8)+2(0.5)+2(0.30769)+0.2\,]=0.25(4.41538)=1.10385$。
驗算 Verify：對比精確值 $\arctan2\approx1.1071$，誤差 $\approx0.0033$ 很小；被積式凹向下，梯形略低估，符合預期 ✓。
答案 Answer：$\boxed{T_4\approx1.1038}$（精確 $\approx1.1071$）。